Открытие Леонардо Фибоначчи: числовой ряд. Нас окружают числа Фибоначчи…

1

Куделина О.А. (д. Гавриловка, МОУ «Гавриловская средняя школа» Ковернинского муниципального района Нижегородской области)

1. Воробьёв Н.Н. Числа Фибоначчи. – Наука, 1978.

2. ru.wikihow.com – научно-популярный энциклопедический портал.

3. genon.ru – научно-популярный интернет-портал знаний.

4. Учебник трейдера. Числа Фибоначчи.

5. Виктор Лаврус. Золотое сечение.

6. Васютинский Н. Золотая пропорция / Васютинский Н., Москва, Молодая гвардия, 1990, – 238 с. – (Эврика).

Числа Фибоначчи окружают нас повсюду. Они и в музыке, и в архитектуре, в поэзии, математике, экономике, на фондовом рынке, в строении растений, в спирали улитки, в пропорциях человеческого тела и так далее, до бесконечности…

Первым открыл эту математическую последовательность чисел известный средневековый ученый Леонардо Пизанский, но больше он был известен как Леонардо Фибоначчи.

Итальянский математик. Родился в Пизе, стал первым великим математиком Европы позднего Средневековья. В математику его привела практическая потребности установить деловые контакты. Он издавал свои книги по арифметике, алгебре и другим математическим дисциплинам. От мусульманских математиков он узнал о системе цифр, придуманной в Индии и уже принятой в арабском мире, и уверился в ее превосходстве (эти цифры были предшественниками современных арабских цифр).

Цель: наиболее полно изучить последовательность чисел Фибоначчи.

Задачи:

1. Узнать в чем заключается последовательность чисел Фибоначчи.

2. Изучить применение этих чисел в жизни.

3. Изучить, где наиболее часто встречается эта последовательность чисел.

Эту информацию я смогу получить из книг по математике и пользуясь различными сайтами интернета.

Биография Леонардо Фибоначчи

Леонардо Пизанский (Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, около 1170 года, Пиза - около 1250 года, там же) первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи.

Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Позже Фибоначчи посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Он ознакомился с достижениями античных и индийских математиков в арабском переводе. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Труд Леонардо Фибоначчи «Книга абака» способствовал распространению в Европе позиционной системы счисления, более удобной для вычислений, чем римская нотация; в этой книге были подробно исследованы возможности применения индийских цифр, ранее остававшиеся неясными, и даны примеры решения практических задач, в частности, связанных с торговым делом. Позиционная система приобрела в Европе популярность в эпоху Возрождения.

Леонардо Пизанский никогда не называл себя Фибоначчи; этот псевдоним был дан ему позднее, предположительно ГийомомЛибри (GuglielmoLibriCaruccidallaSommaja) в 1838 году. Слово Fibonacci - сокращение от двух слов «filiusBonacci», появившихся на обложке «Книги абака»; они могли означать либо «сын Боначчо», либо, если интерпретировать слово Боначчи как фамилию, «сын Боначчи». Согласно третьей версии, само слово Боначчи нужно тоже понимать как прозвище, означавшее «удачливый». Сам он обычно подписывался Боначчи; иногда он использовал также имя ЛеонардоБиголло - слово bigollo на тосканском наречии значило «странник».

Последовательность чисел Фибоначчи

Числовой ряд, носящий сегодня имя Фибоначчи, вырос из проблемы с кроликами, которую Фибоначчи изложил в своей книге «Liberabacci», написанной в 1202 году:

Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?

Можете убедиться, что число пар в каждый из двенадцати последующих месяцев будет соответственно

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Иными словами, число пар кроликов создает ряд, каждый член в котором - сумма двух предыдущих. Он известен как ряд Фибоначчи, а сами числа - числа Фибоначчи.

Свойства чисел Фибоначчи

1. Отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0.618 по увеличении порядкового номера. Отношение же каждого числе к предыдущему стремится к 1.618 (обратному к 0.618). Число 0.618 называют (ФИ).

2. При делении каждого числа на следующее за ним, через одно получается число 0.382; наоборот - соответственно 2.618.

3. Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор фибоначчиевских коэффициентов: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

Числа Фибоначчи в природе

Pаковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Дело в том, что отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1.618. Архимед изучал спираль раковин и вывел уравнение спирали. Cпираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Растения и животные. Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Cпираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Cовместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Cпиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль кривой жизни.

Cреди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Ящерица живородящая. В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Пьер Kюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды. Закономерности золотой симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

Космос. Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда (Фибоначчи) нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы.

Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Cосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициусав начале XIX в.

Pяд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты - свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Числа Фибоначчи в постройке пирамид

Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скоpее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобpетательность, мастерство, время и труд аpхитектоpов пирамиды, использованные ими пpи возведении вечного символа,указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям. Их эпоха была дописьменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий.

Kлюч к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты.

Площадь тpеугольника

356 x 440 / 2 = 78320

Площадь квадpата

280 x 280 = 78400

Длина грани пирамиды в Гизе равна 783.3 фута (238.7 м), высота пирамиды -484.4 фута (147.6 м). Длина гpани, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф = 1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) - это числа из последовательности Фибоначчи.

Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф = 1,618. Cовременные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью - передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений.

Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1.618 играет центральную роль.

Hе только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения, то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид. Возникает мысль, что как египетские, так и мексиканские пиpамиды были возведены пpиблизительно в одно вpемя людьми общего происхождения.

Hапопеpечном сечении пиpамиды видна фоpма, подобная лестнице. В пеpвом яpусе 16 ступеней, во втоpом 42 ступени и в тpетьем - 68 ступеней.

Эти числа основаны на соотношении Фибоначчи следующим обpазом:

Золотое сечение

Наше чувство прекрасного кажется субъективным. В самом деле, вкусы разнятся, как и характеры. Но есть и нечто общее в мировосприятии всех людей. Давным-давно, еще до того, как были открыты числа Фибоначчи, художники и архитекторы интуитивно вывели формулу «золотого сечения». Смысл его в том, что любая композиция делится на два отрезка, меньший из которых относится к большему, как тот - к их суммарной длине. Если эта пропорция не соблюдена, то монумент получится невыразительным, а здание уродливым. Интересно, что пропорционально сложенный человек своей фигурой демонстрирует «золотое сечение». То же можно сказать и о каждом красивом лице. Музыкальные произведения некоторых композиторов, например Шопена, также содержат в себе гармонию, которую математически выражают числа Фибоначчи. Учитывая все это, можно предположить существование объективной красоты и совершенства. Получается, что пушкинский Сальери, выверяя гармонию алгеброй, поступал, в общем-то, правильно, хотя никакие расчеты не в силах заменить истинной гениальности. Как говорят в таких случаях математики, это необходимое, но не достаточное условие.

Как связаны с человеком числа Фибоначчи

Около двух веков идея применения золотой пропорции в исследовании человеческого тела была предана забвению, и лишь в середине XIX века немецкий ученый Цейзинг вновь обратился к ней. Он находил, что все тело человека в целом и каждый отдельный его член связаны математически строгой системой пропорциональных отношений, среди которых золотое сечение занимает важнейшее место. Измерив тысячи человеческих тел, он установил, что золотая пропорция есть среднестатистическая величина, характерная для всех хорошо развитых тел. Он нашел, что средняя пропорция мужского тела близка к 13/8 = 1,625, а женского - к 8/5 = 1,60. Аналогичные значения получены и при анализе антропометрических данных населения СССР (1,623 для мужчин и 1,605 для женщин).

Заключение

В результате проделанной мной работы я выполнила поставленные перед собой задачи:

1. Я узнала в чем заключается последовательность чисел Фибоначчи.

2. Я изучила применение этих чисел в жизни.

3. Я изучила, где наиболее часто встречается эта последовательность чисел.

Работая над этой темой, я узнала много новой и интересной для меня информации. Я узнала много исторических фактов, например как была построена пирамида в Гизе. Также я узнала многие факты из природы.

Числа Фибоначчи послужили множеству великих открытий и не известно знали бы мы некоторые исторические факты без этой последовательности чисел.

Библиографическая ссылка

Воронова А.А. ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ // Международный школьный научный вестник. – 2018. – № 2. – С. 69-74;
URL: http://school-herald.ru/ru/article/view?id=483 (дата обращения: 20.02.2019).

МОУ Таловская СОШ

Выполнили учащиеся 9 «в» класса

Руководитель Данкова Валентина Анатольевна

2015 год

Последовательность чисел Фибоначчи

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

ФИБОНАЧЧИ (Леонардо из Пизы)
Fibonacci (Leonardo of Pisa), ок. 1175–1250

Итальянский математик. Родился в Пизе, стал первым великим математиком Европы позднего Средневековья. В математику его привела практическая потребности установить деловые контакты. Он издавал свои книги по арифметике, алгебре и другим математическим дисциплинам. От мусульманских математиков он узнал о системе цифр, придуманной в Индии и уже принятой в арабском мире, и уверился в ее превосходстве (эти цифры были предшественниками современных арабских цифр).

Итальянский купец Леонардо из Пизы(1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.

В век Фибоначчи возрождение было еще далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император(с 1220 года) Священной Римской империи. Воспитанный в традициях южной Италии Фридрих II был внутренне глубоко далек от европейского христианского рыцарства.

Столь любимые его дедом рыцарские турниры Фридрих II совсем не признавал. Вместо этого он культивировал гораздо менее кровавые математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами.

На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи. Этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей.

Покровительство Фридриха и стимулировало выпуск научных трактатов Фибоначчи:

Книга абака (Liber Abaci), написанная в 1202 году, но дошедшая до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.

Практики геометрии"(1220г.)

Книга квадратов(1225г.)

По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику чуть ли не до времен Декарта(XVII в.).

Как указано в документах 1240 года, восхищенные граждане Пизы говорили, что он был "рассудительный и эрудированный человек", а не так давно Жозеф Гиз (Joseph Gies), главный редактор Британской Энциклопедии заявил, что будущие ученые во все времена "будут отдавать свой долг Леонардо Пизанскому, как одному из величайших интеллектуальных первопроходцев мира". Его работы после долгих лет только сейчас переводятся с латинского языка на английский. Для тех, кто интересуется - книга, названная Ленардо Пизанский и новая математика Средних веков Жозефа и Франца Гиз (Joseph and Frances Gies) является прекрасным трактатом по веку Фибоначчи и его работам.

Наибольший интерес представляет для нас сочинение "Kнига абака" ("Liber Abaci"). Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими (арабскими) цифрами.

В "Liber Abaci" Фибоначчи приводит свою последовательность чисел как решение математической задачи - нахождение формулы размножения кроликов. Числовая последовательность такова: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 (далее до бесконечности).

На стр. 123- 124 данной рукописи, Фибоначчи поместил следующую задачу: "Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения."

На рисунке отрезок АВ разделен точкой С так, что АС: АВ = СВ: АС.

что составляет приблизительно 1,618... Таким образом, отношение большей части отрезка к меньшей и всей длины отрезка к большей его части (Ф) равно приблизительно 1,618... Обратная величина - отношение меньшей части отрезка к большей и большей части к всему отрезку - составляет примерно 0,618... Этот факт заложен в самом уравнении для числа Ф (**).

Если разделить любой отрезок на две части так, чтобы отношение большей части отрезка к целому было равно отношению меньшей части к большей, получим сечение, которое называют золотым.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.). На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618...

На плане пола Парфенона также можно заметить "золотые прямоугольники":

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотрдам де Пари)

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Посмотрим внимательно на картину "Джоконда". Композиция портрета построена на"золотых треугольниках".

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ - числовая последовательность, где каждый последующий член

ряда равен сумме двух предыдущих, то есть: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,

55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711,

28657, 46368,.. 75025,.. 3478759200, 5628750625,.. 260993908980000,..

422297015649625,.. 19581068021641812000,.. Изучением сложных и удивительных свойств чисел ряда Фибоначчи занимались самые различные профессиональные ученые и любители математики.

В 1997 году несколько странных особенностей ряда описал исследователь

Владимир МИХАЙЛОВ. [Компьютерный вестник РИА-Новости "Терра-Инкогнита" ]

32(209) от 08.08.1997]. Михайлов убежден, что Природа (в том числе и

Человек) развивается по законам, которые заложены в этой числовой

последовательности. В сосновой шишке, если посмотреть на нее со стороны

черенка, можно обнаружить две спирали, одна закручена против другая по

часовой стрелке. Число этих спиралей 8 и 13.

В подсолнухах встречаются пары спиралей: 13 и 21, 21 и 34, 34 и 55, 55 и 89. И отклонений от этих пар не бывает!..

Приглядимся внимательно к побегу цикория. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

У Человека в наборе хромосом соматической клетки (их 23 пары), источником наследственных болезней являются 8, 13 и 21 пары хромосом...Возможно, все это свидетельствует о том, что ряд чисел Фибоначчи представляет собой некий зашифрованный закон природы.

Из истории астрономии известно, что И.Тициус , немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы.
Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Cосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в. Pяд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты - свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Направляя все свое внимание на изучение поведения фондового рынка. Это интересовало и интересует многих. Исследуя особенности ценовых моделей, После ряда успешных предсказаний он пришел к выводу о том что "Любой человеческой деятельности присущи три отличительных особенности: форма, время и отношение, - и все они подчиняются суммарной последовательности Фибоначчи".

Ральф Нельсон Эллиотт

Исследование свойств

МОУ Таловская СОШ

Конспект интегрированного урока

по информатике и математике

Подготовил учитель

информатики и математики

Данкова Валентина Анатольевна

2009 год

Ход урока:

1. Орг.момент.

Приветствие. Определение отсутствующих. Проверка готовности учащихся к уроку.

2. Итоги исследовательской работы

Учитель: Запишем тему урока в тетрадь: “Последовательность чисел Фибоначчи”.

А кто он был этот человек? Ученый? Писатель? Математик? Почему последовательность чисел, носящая название «числа Фибоначчи до сих пор не дает покоя ученым, философам и даже нам с вами?

Готовясь к сегодняшнему уроку, вы кроме решения задач провели исследовательскую работу. И я думаю, что вам не составит особого труда ответить на вопрос: Что особенного в числах Фибоначчи и почему их связывают с золотым сечением, и что общего между этими числами и природой? Какое отношение данная последовательность имеет к нашей истории?

Прошу вас изложить суть вашего исследования и кратко записать в тетрадь особенности чисел Фибоначчи. …

Демонстрируется презентация, сопровождающая рассказом учащихся.

Историческая справка жизни Фибоначчи.

Числа Фибоначчи в природе

Числа Фибоначчи в живописи, архитектуре.

Математическая основа чисел Фибоначчи

Подводя итог сказанному, ответьте где проявила себя данная последовательность?

С какими науками она связана?

В каких областях человеческого познания она себя проявила?

О чем это свидетельствует?

Эти факты - свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Проведя исследование данной темы какие особенности данной последовательности вы заметили?

Все ли числа, записанные на доске четные? на каких местах они стоят?

Но можно ли утверждать, что на 27 месте тоже будет стоять четное число, а на 28 не четное

Что можно сказать о числах 5 и 8 они какие? А 13 и 21? А если взять числа стоящие на 37 и 38 месте?

Каждое пятнадцатое число оканчивается нулем

Итак, нам сегодня на уроке предстоит провести исследование некоторых свойств чисел

каждое третье число Фибоначчи четное,

каждое пятнадцатое оканчивается нулем ,

два соседних числа Фибоначчи взаимно просты и др.

Нам с вами очевидны только первое и третье свойство для первых 12 чисел Фибоначчи, второе свойство нам необходимо выяснить экспериментальным путем. Вы сейчас в своих тетрадях составите программы утверждающие данные свойства или наоборот отрицающие их. Т.е мы с вами проведем исследование данных свойств чисел Фибоначчи с помощью языка программирования ПАСКАЛЯ. (Первая группа работает за компьютерами, вторая группа работает в тетрадях, один ученик за учительским компьютером осуществляет набор данной программы.) . По окончании работы, осуществляется само-проверка.

Задание для первой группы

№1 . Заполнить массив A(N) элементами последовательности Фибоначчи. Проверим четность каждого числа стоящего на местах кратных 3.

Задание для второй группы

№1. Заполнить массив A(N) элементами последовательности Фибоначчи. Проверить являются ли рядом стоящие числа Фибоначчи простыми

Домашнее задание

№1. Заполнить массив A(N) элементами последовательности Фибоначчи. Проверить будет ли каждое пятнадцатое число из последовательности оканчиваться нулем ,

Согласно исследования историков можно утверждать: хронология и периодизация, исторического развития с помощью ряда Фибоначчи разделена на 18 временных ступеней, имеющих планетарный характер. События, хронология которых оказывается за пределами ряда, имеют региональный характер, т.е местный, подвижные границы. Хронологические границы археологических эпох и периодов, найденные с помощью ряда Фибоначчи, жесткие. В них нет соглашения: они либо приемлемы, либо - нет. Это потому, что в основе такого выбора лежит научное мировоззрение, которое всегда строго определенно.

Ральф Hельсон Эллиотт будучи простым инженером. После сеpьезной болезни в начале 1930-х г.г. занялся анализом биржевых цен. Направляя все свое внимание на изучение поведения фондового рынка. Это интересовало и интересует многих. Исследуя особенности ценовых моделей, После ряда успешных предсказаний он пришел к выводу о том что "Любой человеческой деятельности присущи три отличительных особенности: форма, время и отношение, и все они подчиняются суммарной последовательности Фибоначчи".

Анализ урока

Тип урока : интегрированный (математика и информатика)

Вид урока : Исследовательская работа.

Цели урока .

Образовательные :

Создать условия для понимания термина “Последовательность чисел Фибоначчи”;

Способствовать применению последовательности этих чисел при решении задач на заполнение и обработку одномерных массивов;

Помочь в отработке имеющихся знаний по темам “Массив”, “Заполнение элементов массива при помощи формул” и навыков работы в среде ПАСКАЛЬ;

Способствовать осуществлению межпредметных связей на уроке информатики.

Развивать исследовательскую работу на уроке информатики.

Развивающие :

Содействовать развитию познавательного интереса и творческой активности учащихся;

Способствовать развитию логического мышления и умения моделировать задачу.

Воспитательные :

Способствовать формированию познавательного интереса как компонента учебной мотивации;

Способствовать повышению у учащихся интереса к историческим событиям, связанным с числами последовательности Фибоначчи;

Способствовать развитию навыков сознательного и рационального использования ЭВМ в своей учебной, а затем профессиональной деятельности.

Методы и приемы обучения: объяснительно-иллюстративный; частично-поисковый; словесный (фронтальная беседа); наглядный (демонстрация компьютерной презентации); практический, метод исследования.

Средства обучения: авторская мультимедиа презентация интегрированная с программой ПАСКАЛЬ; технические (ЭВМ, мультимедиа проектор с экраном), доска, маркер. Компьютерное программное обеспечение : программы PowerPoint иПАСКАЛЬ.

1. Каждыйтретийчетный

program n1;

var i,w,f,k: longint;

begin

a:=1; a:=1;

for i:=3 to 40 do

a[i]:=a+a;

for i:=1 to 40 do

write(a[i]," ");

for i:=1 to 40 do begin

if (a[i] mod 2<>0)and (i mod 3=0) then begin w:=1; k:=i; end;

if (a[i] mod 2=0) and (i mod 3<>0) then f:=1;

end; writeln;

if w=0 then writeln (" каждыйтретийчетный")else writeln (k);

if f=0 then writeln (" если инденс не кратен 3 то число нечетное");

readln;

end.

2. Каждый пятнадцатый оканчивается нулем

program n 2;

var i,w,f,k: longint;

a:array of integer;

begin

a:=1; a:=1;

for i:=3 to 40 do

a[i]:=a+a;

for i:=1 to 40 do

write(a[i]," ");

for i:=1 to 40 do begin

if (a[i] mod 10<>0)and (i mod 15=0) then begin w:=1; k:=i; end;

if (a[i] mod 10=0) and (i mod 15<>0) then f:=1;

end; writeln;

if w=0 then writeln (" толькопятнадцатыйоканчиваетсянулем")else writeln (k);

if f=0 then writeln (" каждый пятнадцатый оканчивается нулем");

readln;

end.

3. Соседниеэлементывзаимнопросты.

program n3;

var x,y,i,w,f,k: longint;

a:array of integer;

begin

a:=1; a:=1;

for i:=3 to 40 do

a[i]:=a+a;

for i:=1 to 40 do

write(a[i]," ");

for i:=2 to 40 do begin

x:=a[i]; y:=a;

repeat

if x>y then x:=x mod y else y:=y mod x;

until (x=0) or (y=0);

if x+y<>1 then f:=1;

end; writeln;

if f=0 then writeln (" соседниеэлементывзаимнопросты");

readln;

end.

4. Вывести все числа Фибоначчи не превышающие 50.

program n 4;

var i,w,f,k,l: longint;

a:array of longint;

begin

a:=1; a:=1; i:=3;

While a[i]<50 do begin

a[i]:=a+a;

i:=i+1;

end;

l:= i-1;

for i:=1 to l do

write(a[i]," ");

readln;

end.

Задачи

В психологии отмечены переломные моменты, кризисы, перевороты, знаменующие на жизненном пути человека преобразования структуры и функций души. Если человек успешно преодолел эти кризисы, то становится способным решать задачи нового класса, о которых раньше даже не задумывался.

Наличие коренных изменений дает основание рассматривать время жизни в качестве решающего фактора развития духовных качеств. Ведь природа отмеряет нам время не щедро, «не сколько будет, столько и будет», а ровно столько, чтобы процесс развития материализовался:

• в структурах тела;

• в чувствах, мышлении и психомоторике - пока они не приобретут , необходимую для возникновения и запуска механизма творчества;

• в структуре энергопотенциала человека.

Развитие тела нельзя остановить: ребенок становится взрослым человеком. С механизмом же творчества не так все просто. Его развитие можно остановить и изменить его направление.

Существует ли шанс догнать время? Безусловно. Но для этого нужно выполнить огромную работу над собой. То, что развивается свободно, естественным путем, не требует специальных усилий: ребенок свободно развивается и не замечает этой огромной работы, потому что процесс свободного развития создается без насилия над собой.

Как понимается смысл жизненного пути в обыденном сознании? Обыватель видит его так: у подножия - рождение, на вершине - расцвет сил, а потом - все идет под горку.

Мудрец же скажет: все намного сложнее. Восхождение он разделяет на этапы: детство, отрочество, юность… Почему так? Мало, кто способен ответить, хотя каждый уверен, что это замкнутые, целостные этапы жизни.

Чтобы выяснить, как развивается механизм творчества, В.В. Клименко воспользовался математикой, а именно законами чисел Фибоначчи и пропорцией «золотого сечения» - законами природы и жизни человека.

Если развернуть в ряд числа Фибоначчи, то получим: 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 и т.д. Отношение между числами Фибоначчи составляет 0,618. Оно найдено древними египтянами и использовано в математике Пифагором. Это результат разделения целого на две неравные, но пропорциональные части. В свое время ее называли «божественной пропорцией», «золотым делением», а позже Леонардо да Винчи употребил впервые для обозначения пропорции общепринятый термин - «золотое сечение» .

С тех пор эта пропорция была найдена во многих природных явлениях: в строении нашего тела, в ботанике, в процессах квантовой механики и т.д.. В наше время золотое сечение используется в практической деятельности людей, оно нашло широкое научное применение в математике, технике, музыке, эстетике и пр. Развитие человека также происходит соответственно данной пропорции и подчиняется закону ее чисел, разделяя нашу жизнь на этапы с теми или иными доминантами механизма творчества.

Числа Фибоначчи делят нашу жизнь на этапы по количеству прожитых лет:

• 0 - начало отсчета - ребенок родился. У него еще отсутствуют не только психомоторика, мышление, чувства, воображение, но и оперативный энергопотенциал. Он - начало новой жизни, новой гармонии;

• 1 - ребенок овладел ходьбой и осваивает ближайшее окружение;

• 2 - понимает речь и действует, пользуясь словесными указаниями;

• 3 - действует посредством слова, задает вопросы;

• 5 - «возраст грации» - гармония психомоторики, памяти, воображения и чувств, которые уже позволяют ребенку охватить мир во всей его целостности;

• 8 - на передний план выходят чувства. Им служит воображение, а мышление силами своей критичности направлено на поддержку внутренней и внешней гармонии жизни;

• 13 - начинает работать механизм таланта, направленный на превращение приобретенного в процессе наследования материала, развивая свой собственный талант;

• 21 - механизм творчества приблизился к состоянию гармонии и делаются попытки выполнять талантливую работу;

• 34 - гармония мышления, чувств, воображения и психомоторики: рождается способность к гениальной работе;

• 55 - в этом возрасте, при условии сохраненной гармонии души и тела, человек готов стать творцом. И так далее…

Что же такое засечки «Чисел Фибоначчи»? Они могут быть сравнимы с плотинами на жизненном пути. Эти плотины ожидают каждого из нас. Прежде всего необходимо преодолеть каждую их них, а потом терпеливо поднимать свой уровень развития, пока в один прекрасный день она не развалится, открывая свободному течению путь к следующей.

Теперь, когда нам понятен смысл этих узловых точек возрастного развития, попробуем расшифровать, как все это происходит.

В 1 год ребенок овладевает ходьбой. До этого он познавал мир передней частью головы. Теперь же он познает мир руками - исключительная привилегия человека. Животное передвигается в пространстве, а он, познавая, овладевает пространством и осваивает территорию, на которой живет.

2 года - понимает слово и действует в соответствии с ним. Это значит, что:

• ребенок усваивает минимальное количество слов - смыслов и образов действий;
• пока что не отделяет себя от окружающей среды и слит в целостность с окружающим,
• поэтому действует по чужому указанию. В этом возрасте он самый послушный и приятный для родителей. Из человека чувственного ребенок превращается в человека познающего.

3 года - действие при помощи собственного слова. Уже произошло отделение этого человека от окружающей среды - и он учится быть самостоятельно действующей личностью. Отсюда он:

• сознательно противостоит среде и родителям, воспитателям в детском саду и т.д.;
• осознает свой суверенитет и борется за самостоятельность;
• старается подчинить своей воле близких и хорошо знакомых людей.

Теперь для ребенка слово - это действие. С этого начинается действующий человек.

5 лет - «возраст грации». Он - олицетворение гармонии. Игры, танцы, ловкие движения - все насыщено гармонией, которой человек старается овладеть собственными силами. Гармоничная психомоторика содействует приведению к новому состоянию. Поэтому ребенок направлен на психомоторную активность и стремится к максимально активным действиям.

Материализация продуктов работы чувствительности осуществляется посредством:

1. способности к отображению окружающей среды и себя как части этого мира (мы слышим, видим, прикасаемся, нюхаем и т.д. - все органы чувств работают на этот процесс);
2. способности к проектированию внешнего мира, в том числе и себя (создание второй природы, гипотез - сделать завтра то и другое, построить новую машину, решить проблему), силами критичности мышления, чувств и воображения;
3. способности к созиданию второй, рукотворной природы, продуктов деятельности (реализация задуманного, конкретные умственные или психомоторные действия с конкретными предметами и процессами).

После 5 лет механизм воображения выходит вперед и начинает доминировать над остальными. Ребенок выполняет гигантскую работу, создавая фантастические образы, и живет в мире сказок и мифов. Гипертрофированность воображения ребенка вызывает у взрослых удивление, потому что воображение никак не соответствует действительности.

8 лет - на передний план выходят чувства и возникают собственные мерки чувств (познавательных, нравственных, эстетических), когда ребенок безошибочно:

• оценивает известное и неизвестное;
• отличает моральное от аморального, нравственное от безнравственного;
• прекрасное от того, что угрожает жизни, гармонию от хаоса.

13 лет - начинает работать механизм творчества. Но это не значит, что он работает на полную мощность. На первый план выходит один из элементов механизма, а все остальные содействуют его работе. Если и в этом возрастном периоде развития сохраняется гармония, которая почти все время перестраивает свою структуру, то отрок безболезненно доберется до следующей плотины, незаметно для себя преодолеет ее и будет жить в возрасте революционера. В возрасте революционера отрок должен сделать новый шаг вперед: отделиться от ближайшего социума и жить в нем гармоничной жизнью и деятельностью. Не каждый может решить эту задачу, возникающую перед каждым из нас.

21 год . Если революционер успешно преодолел первую гармоничную вершину жизни, то его механизм таланта способен выполнять талантливую работу. Чувства (познавательные, моральные или эстетические) иногда затмевают мышление, но в общем все элементы работают слаженно: чувства открыты миру, а логическое мышление способно с этой вершины называть и находить меры вещей.

Механизм творчества, развиваясь нормально, достигает состояния, позволяющего получать определенные плоды. Он начинает работать. В этом возрасте вперед выходит механизм чувств. По мере того, как воображение и его продукты оцениваются чувствами и мышлением, между ними возникает антагонизм. Побеждают чувства. Эта способность постепенно набирает мощность, и отрок начинает ею пользоваться.

34 года - уравновешенность и гармоничность, продуктивная действенность таланта. Гармония мышления, чувств и воображения, психомоторики, которая пополняется оптимальным энергопотенциалом, и механизм в целом - рождается возможность исполнять гениальную работу.

55 лет - человек может стать творцом. Третья гармоничная вершина жизни: мышление подчиняет себе силу чувств.

Числа Фибоначчи называют этапы развития человека. Пройдет ли человек этот путь без остановок, зависит от родителей и учителей, образовательной системы, а дальше - от него самого и от того, как человек будет познавать и преодолевать самого себя.

На жизненном пути человек открывает 7 предметов отношений :

1. От дня рождения до 2-х лет - открытие физического и предметного мира ближайшего окружения.
2. От 2-х до 3-х лет - открытие себя: «Я - Сам».
3. От 3-х до 5-ти лет - речь, действенный мир слов, гармонии и системы «Я - Ты».
4. От 5-ти до 8-ми лет - открытие мира чужих мыслей, чувств и образов - системы «Я - Мы».
5. От 8 до 13 лет - открытие мира задач и проблем, решенных гениями и талантами человечества - системы «Я - Духовность».
6. От 13 до 21 года - открытие способностей самостоятельно решать всем известные задачи, когда мысли, чувства и воображение начинают активно работать, возникает система «Я - Ноосфера».
7. От 21 до 34 лет - открытие способности создавать новый мир или его фрагменты - осознание самоконцепции «Я - Творец».

Жизненный путь имеет пространственно-временную структуру. Он состоит из возрастных и индивидуальных фаз, определяемых по многим параметрам жизни. Человек овладевает в определенной мере обстоятельствами своей жизни, становится творцом своей истории и творцом истории общества. Подлинно творческое отношение к жизни, однако, появляется далеко не сразу и даже не у всякого человека. Между фазами жизненного пути существуют генетические связи, и это обусловливает закономерный его характер. Отсюда следует, что в принципе можно предсказывать будущее развитие на основе знания о ранних его фазах.

Среди множества изобретений, сделанных великими учеными в прошлых веках, открытие закономерности развития нашего мироздания в виде системы чисел является наиболее интересным и полезным. Этот факт описал в своем труде итальянский математик Леонардо Фибоначчи. Числовой ряд представляет собой последовательность цифр, в которой каждая величина члена является суммой двух предыдущих. Эта система выражает информацию, заложенную в структуру все живого согласно гармоническому развитию.

Великий ученый Фибоначчи

Итальянский ученый жил и творил в XIII веке в городе Пиза. Родился он в купеческой семье и первое время работал с отцом в торговле. К математическим открытиям Леонардо Фибоначчи пришел, когда пытался установить контакты в то время с деловыми партнерами.

Свое открытие ученый сделал при подсчете планирования приплода кроликов по просьбе одного из дальних родственников. Он открыл числовой ряд, по которому будет производиться размножение животных. Эту закономерность он описал в своем труде «Книга вычислений», где также представил информацию о десятичной для европейских стран.

«Золотое» открытие

Числовой ряд можно выразить графически в виде раскрывающейся спирали. Можно отметить, что в природе имеется множество примеров, в основе которых заложена эта фигура, например, накатывающиеся волны, строение галактик, микрокапилляры в организме человека и

Интересно, что цифры в данной системе (коэффициенты Фибоначчи) считают «живыми» числами, так как по данной прогрессии эволюционирует все живое. Эта закономерность была известна еще людям древних цивилизаций. Существует версия, что уже в то время было известно, как исследовать на сходимость числовой ряд - наиболее важный вопрос при последовательности цифр.

Применение теории Фибоначчи

Исследовав свой числовой ряд, итальянский ученый открыл, что отношение цифры из данной последовательности к последующему члену равно 0,618. Это значение принято называть коэффициентом пропорциональности, или «золотым сечением». Известно, что это число использовали египтяне при строительстве знаменитой пирамиды, а также древние греки и русские зодчие при возведении классических сооружений - храмов, церквей и т. п.

Но интересен факт того, что числовой ряд Фибоначчи используется также при оценке движения цен на Использование этой последовательности в техническом анализе предложил инженер Ральф Эллиот еще в начале прошлого столетия. В 30-х годах американский финансист занимался прогнозированием биржевых цен, в частности исследованием индекса Доу-Джонса, который является одним из главных составляющих на фондовом рынке. После серии удачных предсказаний он опубликовал несколько своих статей, в которых описал методы использования ряда Фибоначчи.

На данный момент практически все трейдеры используют теорию Фибоначчи при прогнозировании ценового движения. Также эту зависимость используют и при многих научных исследованиях в различных сферах. Благодаря открытию великого ученого можно создать множество полезных изобретений даже спустя много столетий.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Числа Фибоначчи и золотое сечение составляют основу разгадки окружающего мира, построения его формы и оптимального зрительного восприятия человеком, с помощью которых он может ощущать красоту и гармонию.

Принцип определения размеров золотого сечения лежит в основе совершенства целого мира и его частей в своей структуре и функциях, его проявление можно видеть в природе, искусстве и технике. Учение о золотой пропорции было заложено в результате исследований древними учеными природы чисел.

Свидетельства использования древними мыслителями золотой пропорции приведены в книге Эвклида «Начала», написанной еще в 3 в. до н.э., который применял это правило для построения правильных 5-угольников. У пифагорейцев эта фигура считается священной, поскольку является одновременно симметричной и асимметричной. Пентаграмма символизировала жизнь и здоровье.

Числа Фибоначчи

Знаменитая книга Liber abaci математика из Италии Леонардо Пизанского, который в последующем стал известен, как Фибоначчи, увидела свет в 1202 г. В ней ученый впервые приводит закономерность чисел, в ряду которых каждое число является суммой 2-х предыдущих цифр. Последовательность чисел Фибоначчи заключается в следующем:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д.

Также ученый привел ряд закономерностей:

Любое число из ряда, разделенное на последующее, будет равно значению, которое стремится к 0,618. Причем первые числа Фибоначчи не дают такого числа, но по мере продвижения от начала последовательности это соотношение будет все более точным.

Если же поделить число из ряда на предыдущее, то результат устремится к 1,618.

Одно число, поделенное на следующее через одно, покажет значение, стремящееся к 0,382.

Применение связи и закономерностей золотого сечения, числа Фибоначчи (0,618) можно найти не только в математике, но и в природе, в истории, в архитектуре и строительстве и во многих других науках.

Для практических целей ограничиваются приблизительным значением Φ = 1,618 или Φ = 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение - это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %.

Исторически изначально золотым сечением именовалось деление отрезка АВ точкой С на две части (меньший отрезок АС и больший отрезок ВС), чтобы для длин отрезков было верно AC/BC = BC/AВ. Говоря простыми словами, золотым сечением отрезок рассечён на две неравные части так, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему отрезку. Позже это понятие было распространено на произвольные величины.

Число Φ называется также золотым числом.

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства.

Теперь подробности:

Определение ЗС - это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей.

То есть, если мы примем весь отрезок c за 1, то отрезок a будет равен 0,618, отрезок b - 0,382. Таким образом, если взять строение, например, храм, построенный по принципу ЗС, то при его высоте скажем 10 метров, высота барабана с куполом будут равны 3,82 см, а высота основания строения будет 6, 18 см. (понятно, что цифры взяты ровными для наглядности)

А какова связь между ЗС и числами Фибоначчи?

Числа последовательности Фибоначчи это:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Закономерность чисел в том, что каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 и т.д.,

а отношение смежных чисел приближается к отношению ЗС.
Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618.

То есть в основе ЗС лежат числа последовательности Фибоначчи.

Считается, что термин «Золотое сечение» ввел Леонардо Да Винчи, который говорил, «пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды” и показывал пропорции человеческого тела на своём знаменитом рисунке «Витрувианский человек». “Если мы человеческую фигуру – самое совершенное творение Вселенной – перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека к длине от пояса до ступней”.

Ряд чисел Фибоначчи наглядно моделируется (материализуется) в форме спирали.

А в природе спираль ЗС выглядит вот так:

При этом, спираль наблюдается повсеместно (в природе и не только):

Семена в большинстве растений расположены по спирали
- Паук плетет паутину по спирали
- Спиралью закручивается ураган
- Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.
- Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Молекулу ДНК составляют две вертикально переплетенные спирали длиной 34 ангстрема и шириной 21 ангстрема. Числа 21 и 34 следуют друг за другом в последовательности Фибоначчи.
- Эмбрион развивается в форме спирали
- Спираль «улитки во внутреннем ухе»
- Вода уходит в слив по спирали
- Спиральная динамика показывает развитие личности человека и его ценностей по спирали.
- Ну и конечно, сама Галактика имеет форму спирали

Таким образом можно утверждать, что сама природа построена по принципу Золотого Сечения, оттого эта пропорция гармоничнее воспринимается человеческим глазом. Она не требует «исправления» или дополнения получаемой картинки мира.

Фильм. Число Бога. Неопровержимое доказательство Бога; The number of God. The incontrovertible proof of God.

Золотые пропорции в строении молекулы ДНК

Все сведения о физиологических особенностях живых существ хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).

21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618

Золотое сечение в строении микромиров

Геометрические фигуры не ограничиваются только лишь треугольником, квадратом, пяти- или шестиугольником. Если соединить эти фигуры различным образом между собой, то мы получим новые трехмерные геометрические фигуры. Примерами этому служат такие фигуры как куб или пирамида. Однако кроме них существуют также другие трехмерные фигуры, с которыми нам не приходилось встречаться в повседневной жизни, и названия которых мы слышим, возможно, впервые. Среди таких трехмерных фигур можно назвать тетраэдр (правильная четырехсторонняя фигура), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и т.п. Додекаэдр состоит из 13-ти пятиугольников, икосаэдр из 20-и треугольников. Математики отмечают, что эти фигуры математически очень легко трансформируются, и трансформация их происходит в соответствии с формулой логарифмической спирали золотого сечения.

В микромире трехмерные логарифмические формы, построенные по золотым пропорциям, распространены повсеместно. К примеру, многие вирусы имеют трехмерную геометрическую форму икосаэдра. Пожалуй, самый известный из таких вирусов - вирус Adeno. Белковая оболочка вируса Адено формируется из 252 единиц белковых клеток, расположенных в определенной последовательности. В каждом углу икосаэдра расположены по 12 единиц белковых клеток в форме пятиугольной призмы и из этих углов простираются шипообразные структуры.

Впервые золотое сечение в строении вирусов обнаружили в 1950-хх гг. ученые из Лондонского Биркбекского Колледжа А.Клуг и Д.Каспар. 13 Первым логарифмическую форму явил в себе вирус Polyo. Форма этого вируса оказалась аналогичной с формой вируса Rhino 14.

Возникает вопрос, каким образом вирусы образуют столь сложные трехмерные формы, устройство которых содержит в себе золотое сечение, которые даже нашим человеческим умом сконструировать довольно сложно? Первооткрыватель этих форм вирусов, вирусолог А.Клуг дает такой комментарий:

«Доктор Каспар и я показали, что для сферической оболочки вируса самой оптимальной формой является симметрия типа формы икосаэдра. Такой порядок сводит к минимуму число связующих элементов… Большая часть геодезических полусферических кубов Букминстера Фуллера построены по аналогичному геометрическому принципу. 14 Монтаж таких кубов требует чрезвычайно точной и подробной схемы-разъяснения. Тогда как бессознательные вирусы сами сооружают себе столь сложную оболочку из эластичных, гибких белковых клеточных единиц.»